三维直角坐标系是一个很常见的概念，任何的三维空间计算都需要用到三维直角坐标系。但是由于历史问题，在图形学中，没有制定统一标准，很多系统使用的坐标系标准都不太一样。在这篇文章中，我们进行一个介绍和梳理。
左手坐标系与右手坐标系
由于三维空间的复杂性，坐标轴的定义多种多样。这里先介绍一个概念：手性（Chirality）。
手性 
Wikipedia手性
Wikipedia
Wikipedia手性手性
手性，又稱對掌性 一词源于希腊语词干“手”（ch[e]ir），在多种学科中表示一种重要的对称特点。
Wikipedia如果某物体与其镜像不同，则其被称为“手性的（英语：chiral）”，且其镜像是不能与原物体重合的，就如同左手和右手互为镜像而无法叠合。手性物体与其镜像被称为对映体（enantiomorph，希腊语意为“相对/相反形式”）；在有关分子概念的引用中也被称为对映异构体。可与其镜像叠合的物体被称为非手性的（achiral），有时也称为双向的（amphichiral）。
左手坐标系和右手坐标系无法通过旋转和位移重合。那么如何判断一个坐标系是左手坐标系还是右手坐标系呢？我们可以使用高中物理课时学到的右手螺旋定则，我们使用右（左）手大拇指朝向z轴正方向，如果x轴到y轴的方向符合其余手指的方向，则为右（左）手坐标系。如下图所示。
在右手坐标系中，能够直接使用数学运算和物理中的右手定则，而在左手坐标系中则需要对方向进行取反。建议使用右手坐标系，免得数学运算忘记取负出bug。
坐标系表示
然而即便同样是右手坐标系，每个系统中定义的轴的方向也不太一样。有的z轴方向向上，有的z轴方向向下，有的y轴向上，等等情况。
此时我们可以根据XYz轴的方向来标记坐标系。以COLMAP和OpenCV的坐标系为例，它们的坐标系中，x轴正方向向右R(ight)，y轴正方向向下D(own)，z轴正方向向前(Forward)，则该坐标系可以表示为RDF。
同理，Unity坐标系是左手坐标系，x轴正方向向右R(ight)，y轴正方向向上U(p)，z轴正方向向前F(orward)，则Untiy坐标系可以被表示为RUF。
至此，任意朝向的坐标系都能被这种方式表示出来。下图展示了一些系统的坐标系表示。
常用系统坐标系表示
需要注意的是有些系统里面世界坐标系和相机坐标系不是一致的，比如Omniverse 
Isaac Sim Conventions — Isaac Sim Documentation![Isaac Sim Conventions — Isaac Sim Documentation]()
Isaac Sim Conventions — Isaac Sim DocumentationIsaac Sim Conventions — Isaac Sim Documentation
This section provides a reference for the units, representations, and coordinate conventions used within NVIDIA Isaac Sim.
右手坐标系
系统 | 相机坐标系 | 世界坐标系 |
OpenCV | RDF | x |
COLMAP | RDF | x |
OpenGL | RUB | x |
Blender | RUB | RFU |
Omniverse | RUB | FLU |
NeRF | RUB | x |
Gaussian Splatting | RDF | x |
左手坐标系
系统 | 相机坐标系 | 世界坐标系 |
Unity | RUF | RUF |
Unreal | RBU | x |
坐标系转换
既然我们发现已经有不同的坐标系表示了，那么我们应该如何把在自己的项目中统一起来呢，这个时候就需要用到坐标系转换了。
坐标系转换公式推导
我们先讲基础的二维坐标系变换。假设我们有两个坐标系和 空间中的点，如下图所示。
在坐标系内，可以被表示为：
同样的，$\mathbf{p}$在$uev$坐标系里可以被表示为：
如果，我们将，，用，，进行替换并用矩阵表示，则能够得到：
通过矩阵的形式，我们可以将这个表达式看成是先旋转再平移。
简化以后得到另外一种表示：
因为，都是单位向量且正交，所以这个矩阵也就是由旋转和位移组成的转换矩阵。
同理，我们将 ，，用，，进行替换并用矩阵表示，能够得到：
这个形式也就是先平移再旋转，也就是公式(1)的逆变换。也就是：
不同系统的坐标系转换
我们先介绍同一手性坐标系的转换，比如同为右手坐标系的转换。在这里我们以OpenCV坐标系到OpenGL为例，也就是从RDF坐标系到RUB坐标系。
在这里，我们使用RUB坐标系作为世界坐标系。那么，RDF坐标系中的x轴可以表示为，y轴可以表示为, z轴可以表示为。
那么，我们很快就能构建出转换矩阵：
从这个矩阵也很好理解，将y轴取负，将z轴取负，则RDF坐标系就变成了RUB坐标系了。需要注意的是同手性坐标系转换矩阵的前三行前三列是旋转矩阵，可以用转置来求逆。而异手性的坐标系转换矩阵的前三行前三列不是旋转矩阵，不可以用转置来求逆。也就是说异手性的坐标系转换矩阵不是李群。
相机内外参
Misc
矩阵存储格式：
- OpenCV row-major
- Eigne column-major
- CUDA column-major
- glm column-major
Hugin一个可以转换各种投影的工具。